Πυθαγόρειες τριάδες

Πυθαγόρεια τριάδα ονομάζουμε κάθε τριάδα αριθμών που επαληθεύει το πυθαγόρειο θεώρημα. (δες εδώ για εποπτική απόδειξη του θεωρήματος)

Tρείς φυσικοί αριθμοί (x,y,z) λέγονται πυθαγόρεια ή πυθαγορική τριάδα αν ισχύει η σχέση:

$x^2=y^2 + z^2 $

Ήδη απο τα Βαβυλωνιακά χρόνια είναι σήμερα γνωστό ότι οι τότε "σοφοί" είχαν στην κατοχή τους πίνακες με τέτοιες τριάδες. Μια απο αυτές (τις άπειρες) είναι η (3,4,5). Πράγματι ισχύει

$ 5^2=3^2 + 2^2 $

εύκολα μπορούμε να δούμε ακόμα μια, την (6,8,10).
Παρακάτω όμως πως θα πάμε; Εντάξει αν είμασταν μαύροι σε γαλέρα και μας μαστίγωναν απο το πρωί μέχρι το βράδυ, ίσως και να μας ερχόταν όρεξη να κάτσουμε να ψάχνουμε έναν έναν τους αριθμούς για να τους ταιριάξουμε σε τριάδα.
Χρειαζόμαστε κάτι που θα μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε πιο γενικά. Κάπως έτσι πρέπει να σκέφτηκαν και οι πυθαγόριοι και μας μας έδωσαν τον παρακάτω τύπο:


ο οποίος ισχύει αν ο k είναι περιττός. Τώρα μας περίσσεψαν οι άρτιοι. Ο Πλάτωνας μας πληροφορεί ότι για οποιοδήποτε άρτιο αριθμό η τριάδα

είναι πυθαγορική. Πράγματι αν k=3 τότε απο την πρώτη σχέση προκύπτει η τριάδα (3,4,5) και αν z=6 απο την δεύτερη σχέση προκύπτει η τριάδα (6,8,10), αμφότερες ίδιες και απαράλλακτες όπως αναφέρθηκαν πιο πάνω.
Ο Πυθαγόρας (ή ορθότερα οι πυθαγόρειοι) δεν το άφησαν εκεί. Συνέχισαν τα "μαγικά" τους και βρήκαν γενικό τύπο ο οποίος ισχύει για κάθε αριθμό. Αν λοιπόν ισχύει ότι:

 

τότε η τριάδα (x,y,z) είναι πυθαγορική. Αν για παράδειγμα α=7, τότε x= 15, y=112 και z= 113, δηλαδή έχουμε (x,y,z)=(15,112,113).
Πράγματι εύκολα το επαληθεύουμε (να κάνουμε και καμιά πράξη ε!)

 

Λίγο αργότερα ήρθε και ο Διόφαντος και μας πληροφόρησε  ότι με δύο τυχαίους αριθμούς a,b  θα βγάλει πυθαγορική τριάδα με τον τύπο

χμμμ... ωραία όχι οποιουσδήποτε αριθμούς, θα πρέπει να ισχύει  0<b<a για να έχει και νόημα αυτό που γράψαμε.
Αν έχετε περάσει απο το Γυμνάσιο, θα πρέπει να είστε σε θέση όχι μόνο να επαληθεύσετε τις παραπάνω σχέσεις αλλά και να τις αποδείξετε. Αν όχι εδώ είμαστε για διευκρινίσεις.