εποπτική απόδειξη του πυθαγορείου θεώρηματος

for the English version of this article press here

Το πυθαγόρειο θεώρημα, άλλοτε γνωστό και ως θεώρημα της εκατόμβης ή κατά τους βυζαντινούς χρόνους αναφερόμενο ως κανών της σκάδρας.
( διευκρίνηση σκάδρα είναι το τετράγωνο)

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο,το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών

Κατά τα γνωστά, θα ξεκινήσουμε με ένα ορθογώνιο τρίγωνο...

Τι λέει το θεώρημα; το τετράγωνο  της υποτείνουσας... ε,ας φτιάξουμε ένα τετράγωνο με πλευρά την υποτείνουσα. Φτιάχνουμε τετράγωνο με μήκος πλευράς β+γ Πήραμε τέσσερα ίδια (ορθογώνια) τρίγωνα, τα στρίψαμε με κατάλληλο τρόπο και έτσι στο εσωτερικό δημιουργήθηκε το τετράγωνο της υποτείνουσας, δηλαδή ένα τετράγωνο πλευράς α.

Ας βάλουμε λίγο χρώμα τώρα...

Δεν άλλαξε κάτι εδώ, έτσι δεν είναι; Ωραία, θα συνεχίσουμε διπλώνοντας τα τρίγωνα απο έξω προς τα μέσα.

Γεμίσαμε το τετράγωνο της υποτείνουσας με τέσσερα ίδια τρίγωνα και μας περίσσεψε ακόμα ένα τετράγωνο στην μέση του σχήματος. Κάτι πρέπει να κάνουμε με αυτό ή μήπως όχι;... Ακόμα δεν έχει εμφανιστεί το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών, όπως λέει το θεώρημα. Αν παρατηρήσουμε το σχήμα που έχουμε θα δούμε ότι είμαστε πολύ κοντά

Τα βλέπετε;
Με πράσινο χρώμα έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς β
και με γαλάζιο ένα τετράγωνο πλευράς γ.
Ας μετακινήσουμε το κόκκινο και το κίτρινο τρίγωνο να δούμε τι γίνεται (Υπομονή, τελειώσαμε!)

Το περίγραμμα που σχηματίζουν τα τετράγωνα των κάθετων πλευρών αποτελείται απο τέσσερα τρίγωνα και το ίδιο τετράγωνο που περίσσευε όπως προηγουμένως στο κέντρο. Κοίτα πιο πάνω, έτσι δεν γεμίσαμε το τετράγωνο της υποτείνουσας; Βουαλά λοιπόν! Αποδείξαμε, έστω και αφηρημένα και μόνο με "ζωγραφική" ότι το πυθαγόρειο θεώρημα ευσταθεί.

Tip: Γίνονται πολύ πιο κατανοητά τα βήματα που ακολουθήσαμε, αν χρησιμοποιήσουμε χαρτί και κόψουμε τα αντίστοιχα κομμάτια. Θα βοηθήσει αρκετά, ειδικά σε μικρότερες ηλικίες.